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Álgebra A 62
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ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
5.
Hallar las expresiones funcional y matricial de la transformación lineal $T$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ tal que $T(2,0,0)=(4,2,2),\; T(0,4,0)=(1,1,1)$ y $T(0,0,3)=(0,0,-1)$.
b) $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ tal que $T(2,0,0)=(4,2,2),\; T(0,4,0)=(1,1,1)$ y $T(0,0,3)=(0,0,-1)$.
Respuesta
En este caso nos están definiendo a $T$ en una base de $\mathbb{R}^3$ que no es la canónica... pero casi. Vamos a poder encontrar cuánto vale $T(1,0,0)$, $T(0,1,0)$ y $T(0,0,1)$ sin problemas usando los datos del enunciado y, una vez que los tengamos, nos armamos la matriz.
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1) $T(2,0,0) = (4,2,2)$
Como $(2,0,0) = 2 \cdot (1,0,0)$, entonces
$T(2,0,0) = 2 \cdot T(1,0,0) = (4,2,2)$
Y de acá obtenemos que
$T(1,0,0) = (2,1,1)$
2) $T(0,4,0) = (1,1,1)$
Como $(0,4,0) = 4 \cdot (0,1,0)$, entonces
$T(0,4,0) = 4 \cdot T(0,1,0) = (1,1,1)$
Y de acá obtenemos que
$T(0,1,0) = (1/4, 1/4, 1/4)$
3) $T(0,0,3) = (0,0,-1)$
Como $(0,0,3) = 3 \cdot (0,0,1)$, entonces
$T(0,0,3) = 3 \cdot T(0,0,1) = (0,0,-1)$
Y de acá obtenemos que
$T(0,0,1) = (0,0,-1/3)$
Listoooo, ya tenemos a $T$ definida en la base canónica. A partir de estos resultados, la matriz nos queda:
$A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1/4 & 0 \\
1 & 1/4 & 0 \\
1 & 1/4 & -1/3
\end{array}\right)$
Y la expresión funcional:
$T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}+\frac{1}{4} x_{2}, x_{1}+\frac{1}{4} x_{2}, x_{1}+\frac{1}{4} x_{2}-\frac{1}{3} x_{3}\right)$
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